Rappels mathématiques

Algèbre de Boole

L’algèbre de Boole est une algèbre se proposant de traduire des signaux en expressions mathématiques. C’est une structure algébrique qui ne contient que deux éléments, que l’on appelle couramment variables booléennes. Ces variables ne peuvent avoir que deux états, 1 ou 0 (vrai ou faux), et respectent des règles de calcul.  Elle utilise plusieurs opérateurs que l’on nomme opérateurs booléens ou opérateurs logiques ou fonctions logiques ou portes logiques.

L’opérateur OU correspond à la réunion de deux conditions. On le symbolise par un +, un OR ou un | dans certains langages de programmation. En mathématiques, on le symbolise par un \vee.

L’opérateur ET correspond à l’intersection de deux conditions. On le symbolise par un \cdot ou un *, un AND ou un \& dans certains langages de programmation ou par un \land en mathématiques.

L’opérateur NON correspond au complément à 1 d’une condition. Il est souvent représenté dans les conditions par un ! ou par une barre au dessus de la variable (\bar{a}). En mathématiques, on utilise le symbole \lnot.

La fonction booléenne « OU exclusif » souvent appelée « Exclusive OR » (XOR), représentée par le symbole \oplus, correspond à l’intersection de deux conditions privée de la réunion de ces deux conditions.

K\oplus K=0

K\oplus 0=K

(P\oplus K)\oplus K=P

(P_{1}\oplus K)\oplus (P_{2}\oplus K)=(P_{1}\oplus P_{2})\oplus (K\oplus K)=P_{1}\oplus P_{2}